พื้นที่ผิวและปริมาตร

จุดจบคณิตศาสตร์ ม.3

คณิตศาสตร์ ม.๓

เมนู

Skip to content

• หน้าแรก

เรื่อง กราฟ

0

Posted on กุมภาพันธ์ 23, 2014

กราฟ

1.กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่มีความสัมพันธ์เชิงเส้น

ในการเขียนกราฟของความสัมพันธ์เชิงเส้นกรณีที่กราฟมีลักษณะเป็นจุด เพื่อดูแนวโน้มของความสัมพันธ์ เรานิยมเขียนต่อจุดเหล่านั้นให้เป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรง

ตัวอย่าง1

กลุ่มแม่บ้านในตำบลแห่งหนึ่งร่วมกันผลิตน้ำฝรั่งเพื่อบรรจุขวดขายในราคาขวดละ 20 บาท จากการบันทึกข้อมูลเกี่ยวกับเงินลงทุน เขียนแสดงได้ด้วยกราฟดังรูป

จงเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนน้ำฝรั่งที่ขายได้กับรายได้ที่ได้รับโดยใช้แกนคูเดียวกันกับกราฟแสดงเงินลงทุน และใช้กราฟที่ได้ตอบคำถามต่อไปนี้

วิธีทำ

1)      เงินลงทุนขั้นต่ำที่ต้องจ่ายก่อนผลิตน้ำฝรั่งเป็นเงินเท่าไร

ตอบ    2,000 บาท

2)      ถ้าขายน้ำฝรั่งได้ 150 ขวด จะได้กำไรหรือขาดทุนเป็นเงินเท่าไร

ตอบ    ได้ว่าเงินลงทุน = 3,500 บาท และเงินรายได้ของการขายน้ำฝรั่ง = 3,000 บาท

ดังนั้น ขาดทุน = 3,500 – 3,000 = 500 บาท

3)      กลุ่มแม่บ้านต้องขายน้ำฝรั่งให้ได้อย่างน้อยที่สุดกี่ขวดจึงจะถึงจุดคุ้มทุน

ตอบ    จุดตัดของกราฟอยู่ที่ 200 ดังนั้นชาวบ้านต้องขายน้ำฝรั่งอย่างน้อย 200 ขวดจึงจะถึงจุดคุ้มทุน

4)      จากจุดคุ้มทุน ถ้าขายน้ำฝรั่งได้มากขึ้นเรื่อยๆ นักเรียนคิดว่า ส่วนต่างของเงินลงทุนกับรายได้จะเป็นอย่างไร และมีความหมายว่าอย่างไร

ตอบ    จากกราฟสังเกตได้ว่าส่วนต่างของเงินลงทุนกับรายได้มีค่าเพิ่มขึ้นนั้นชี้ให้เห็นว่ายิ่งขายน้ำฝรั่งได้มากกำไรก็จะยิ่งมากขึ้นด้วย

ตัวอย่าง 2

รถยนต์คันที่หนึ่งออกเดินทางเวลา 8.00 น. ด้วยอัตราเร็ว 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เป็นเวลา 2 ชั่วโมง แล้วหยุดพัก 1 ชั่วโมงจากนั้นจึงออกเดินทางต่อด้วยอัตราเร็ว 50 กิโลเมตรต่อชั่วโมง รถยนต์คันที่สองเริ่มออกเดินทางตามไปในเส้นทางเดียวกันหลังจากคันที่หนึ่งแล่นไปแล้ว 2 ชั่วโมง ด้วยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จงเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวลากับระยะทางที่รถยนต์แต่ละคันแล่นได้ ตั้งแต่ 8.00 น. ถึง 14.00 น. โดยใช้แกนคู่เดียวกัน แล้วใช้กราฟที่ได้ตอบคำถามต่อไปนี้

วิธีทำ

1)      ในขณะที่รถยนต์คันที่สองเริ่มออกเดินทาง รถยนต์คันที่หนึ่งแล่นนำหน้าเป็นระยะทางเท่าใด

ตอบ    80 กิโลเมตร

2)      รถยนต์ทั้งสองคันแล่นทันกันเมื่อเวลาใด

ตอบ    13 นาฬิกา

3)      หลังจากรถยนต์ทั้งสองคันแล่นทันกันแล้ว รถยนต์คันใดจะแล่นนำหน้า

ตอบ    รถคันที่ 2

4)      จากกราฟ ถ้ารถยนต์ทั้งสองคันยังคงแล่นต่อไปด้วยอัตราเร็วเดิมจนถึงเวลา 14.30 น. รถยนต์ทั้งสองคันอยู่ห่างกันประมาณเท่าใด

ตอบ    ณ เวลา 14.30 น. รถคันที่หนึ่งวิ่งได้ระยะทาง 255 กิโลเมตร และคันที่สองวิ่งได้ 270

กิโลเมตร ดังนั้นรถยนต์ทั้งสองคันนี้อยู่ห่างกัน = 270 – 255 = 15 กิโลเมตร

2.กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 

 บทนิยาม        “สมการเส้นตรง” คือสมการที่อยู่ในรูป

เมื่อ A, B และ C เป็นจำนวนจริงโดยที่ A และ B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

ถ้า A  0 และ B  0  เรานิยมจัดสมการให้อยู่ในรูปที่สะดวกต่อการแทนค่า x และหาค่า y ดังนี้

พิจารณา           Ax + By + C   =  0

จัดรูปใหม่ จะได้                 By   =  – Ax – C

y   =  –x –

ถ้าให้   =  m ,  =  b      จะได้สมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่นิยมเขียนกันอีกแบบหนึ่ง คือ

y   =  mx + b          เมื่อ m และ b เป็นค่าคงตัว

ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการ (1) ให้อยู่ในรูปต่อไปนี้

โดยเรียก m ว่าเป็นความชันของเส้นตรง และ  b เป็นระยะตัดแกน Y

ข้อสังเกต       กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรสองสมการที่อยู่ในรูป y =  และ

y =  เมื่อ  และ  เป็นค่าคงตัว มีลักษณะดังนี้

1. ความชันของสมการทั้งสองเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ กราฟทั้งสองเส้นเป็นเส้นตรงที่ขนานกัน
2. ความชันของสมการทั้งสองไม่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ กราฟทั้งสองเส้นเป็นเส้นตรงที่ตัดกัน

วิธีที่ 2  หาจุดตัดแกน

–          หาจุดตัดแกน X : ให้ y = 0 แล้วแก้สมการหาค่า x ที่เป็นจำนวนจริง

–          หาจุดตัดแกน Y : ให้ x = 0 แล้วแก้สมการหาค่า y ที่เป็นจำนวนจริง

ความชันของเส้นตรง 2 เส้น

ให้เส้นตรง  และ  มีความชันเป็น  และ 

ความสัมพันธ์ระหว่างความชันกับกราฟของเส้นตรง

ให้ L เป็นเส้นตรงที่มีความชัน m แล้วเราได้ข้อสรุปดังนี้

1. ถ้า m = 0 แล้ว เส้นตรง L ขนานกับแกน X
2. ถ้า m > 0 แล้วเส้นตรง L ทำมุมแหลมกับแกน X
3. ถ้า m < 0 แล้วเส้นตรง L ทำมุมป้านกับแกน X

ตัวอย่าง 1

กำหนดสมการเส้นตรง จงหาความชันของเส้นตรงเส้นนี้และระยะตัดแกน Y

วิธีทำ   จาก  เราสามารถจัดรูปได้ใหม่ว่า 

เพราฉะนั้นได้ว่า เส้นตรงนี้มีความชันเท่ากับ 2 และตัดแกน Y ที่ y = -5

ตัวอย่าง2

จงวาดกราฟของสมการ 

วิธีทำ   จากโจทย์เราสามารถสร้างตารางได้ดังต่อไปนี้

วาดกราฟได้ดังนี้

ตัวอย่าง 1

ผลบวกของจำนวนสองจำนวนเป็น 51 ถ้าจำนวนหนึ่งน้อยกว่าอีกจำนวนหนึ่งอยู่ 13   จงหาจำนวนสองจำนวนนั้น

วิธีทำ   ให้จำนวนทั้งสอง คือ x และ y จากโจทย์เราได้ระบบสมการเชิงเส้นดังนี้

x+ y   =  51                    ……(1)

x – y   =  13                    ……(2)

(1) + (2)                       2x  =  64   หรือ   x = 32

แทนค่า  x ใน (2) ;      หรือ   y = 19

ดังนั้น     จำนวนทั้งสอง คือ 32 และ 19

ตัวอย่าง 2

จำนวนจำนวนหนึ่งเขียนแทนได้ด้วยตัวเลขสองหลัก เลขโดดในหลักสิบมากกว่าเลขโดดในหลักหน่วยอยู่ 4 และผลบวกของจำนวนนี้กับจำนวนที่มีเลขโดดสลับหลักกันกับจำนวนเดิมเป็น 154 จงหาจำนวนเดิมนั้น

วิธีทำ   ให้จำนวนดังกล่าวอยู่ในรูป mn โดยที่ m เป็นเลขหลักสิบ และ n เป็นเลขหลักหน่วย

(m,n = 0,1,2,…,9)

จากโจทย์เราได้ระบบสมการเชิงเส้นดังนี้

m – n   =  4                      ……(1)

(10m+n)+(10n+m)   =  154                  ……(2)

หรือ               11m + 11n   =  154                  ……(3)

(1) ´ 11 ;           11m – 11n   =  44                    ……(4)

(3) +(4) ;                22m  =  198   หรือ   m = 9

แทนค่า m ใน (1) ;         หรือ

ดังนั้น จำนวนดังกล่าวคือ 95

—————————————————————————————————————————————————————–

อ้างอิง: http://e-learning.kusol.org/mod/scorm/player.php

เรื่อง ความคล้าย

0

Posted on กุมภาพันธ์ 23, 2014

ความคล้าย

1.รูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน

                                                                                           A                                                                                                              B

เมื่อกล่าวถึงรูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกัน เราจะเขียนจุดยอดมุมที่สมนัยกันให้อยู่ในลำดับเดียวกัน เช่น มีรูป ก คล้ายกับรูป ข ดังรูป

                                              

เราจะเขียนว่า รูป ABCDE ~ รูป PQRST ซึ่งหมายถึง

 

การเขียนว่า รูป ABCDE ~ รูป PQRST เป็นการแสดงการจับคู่ระหว่างมุมและด้านคู่ที่สมนัยกัน ดังนี้

                                                                                         

                                                                                          

                                         และ                                          

                                                                                           

                                                                                                          

จากตัวอย่างข้างต้น ถ้ามีการเขียนเป็นอย่างอื่น เช่น รูป ABCDE ~ รูป QRSTP

อาจทำให้การหามุมคู่ที่สมนัยกันและด้านคู่ที่สมนัยกันเป็นไปอย่างสับสนได้

ตัวอย่าง 1

จากรูป จงแสดงว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน DUCK และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน FISH เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่คล้ายกัน

เฉลยตัวอย่าง 1

วิธีทำ   เนื่องจาก  oDUCK เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

จะได้            =  = 60°

DU  = CK = 6 หน่วย

และ          CU  = DK = 4 หน่วย

= 180 – 60 = 120°

ดังนั้น           =  = 120°

ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า

=  = 120°

IS  = FH = 6 หน่วย

และ          SH  = IF = 9 หน่วย

= 180 – 120 = 60°

ดังนั้น           =  = 120°

เพราะฉะนั้น สามารถจับคู่จุดยอดมุมที่ทำให้ได้

1. มุมคู่ที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ ทุกคู่ คือ  

2. อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน คือ

 

นั่นคือ   DUCK ~ FISH

2.รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

จากรูป ABC คล้ายกับ DEF เราใช้สัญลักษณ์ ~ แทนคำว่า “คล้ายกับ” ดังนั้นจึงเขียน ABC ~ DEF แทนข้อความว่า ABC คล้ายกับ DEF

การใช้สัญลักษณ์ ~ นี้ มักนิยมเขียนจุดยอดมุมของรูปสามเหลี่ยมคู่ที่มีขนาดของมุมเท่ากันไว้ในตำแหน่งเดียวกัน

เช่น     ถ้าเขียน ABC ~ DEF หมายความว่า   = ,  =  และ   = 

เมื่อ ABC ~ DEF ดังตัวอย่าง

เนื่องจาก                       ด้าน BC อยู่ตรงข้าม

ด้าน EF อยู่ตรงข้าม 

และ                                  = 

จะกล่าวว่า            ด้าน BC สมนัยกับด้าน EF

ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า

ด้าน AC สมนัยกับด้าน DF

และ                        ด้าน AB สมนัยกับด้าน DE

จะกล่าวว่า        ABC และ DEF มีด้านคู่ที่สมนัยกันสามคู่

ซึ่งได้แก่           สมนัยกับ ,

 สมนัยกับ 

และ                   สมนัยกับ 

สมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ที่มาhttps://emotystyle.wordpress.com/